区间问题

#leetcode #2024/08/18 #算法/区间问题 #算法/双指针

目录

• 1. 区间问题解题思路
• 2. 示例一：删除被覆盖区间
  • 2.1. 题目
  • 2.2. 思路
  • 2.3. 代码实现
  • 2.4. 复杂度分析
  • 2.5. 错误记录
• 3. 示例二：区间合并问题
• 4. 示例三：区间列表的交集
  • 4.1. 题目
  • 4.2. 思路
  • 4.3. 代码实现
  • 4.4. 复杂度分析
  • 4.5. 注意点

1. 区间问题解题思路

所谓区间问题，就是线段问题，让你合并所有线段、找出线段的交集等等。主要有两个技巧：

1. 排序
   • 先按照起点升序排序，
   • 若起点相同，则按照终点降序排序。
2. 画图。就是说不要偷懒，勤动手，两个区间的相对位置到底有几种可能，不同的相对位置我们的代码应该怎么去处理

2. 示例一：删除被覆盖区间

2.1. 题目

2.2. 思路

先排序，如下图

排完序后，只有下面三种情况

算法的关键点：

1. 排序策略：按起始位置升序，相同起始位置时按结束位置降序。这确保了在处理重叠时的正确性。
2. 三种情况的处理，下面三种情况涵盖了所有可能的区间关系
   1. 完全覆盖
   2. 可合并
   3. 完全不相交
3. 遍历时使用了双指针，根据上面三种情况更新双指针
4. 记住，返回的剩余的区间数

2.3. 代码实现

/**
 * @description 区间列表的删除：区间问题
 * @param {number[][]} intervals
 * @return {number}
 */
var removeCoveredIntervals = function (intervals) {
  let res = 0;
  // ① 按照区间的起始位置排序，升序排序,如果起始位置相同，则按照结束位置降序排序
  intervals.sort((a, b) => a[0] - b[0] || b[1] - a[1]);

  // ②  初始化左指针，右指针,
  //      左指针指向第一个区间的起始位置
  //      右指针指向第一个区间的结束位置
  let left = intervals[0][0];
  let right = intervals[0][1];

  // ③  遍历区间数组
  for (let i = 1; i < intervals.length; i++) {
    let currInterval = intervals[i];
    // 情况一：有重叠
    if (left <= currInterval[0] && right >= currInterval[1]) {
      res++;
    }
    // 情况二：可以合并
    if (right < currInterval[1]) {
      left = currInterval[0];
      right = currInterval[1];
    }
    // 情况三：完全不相交
    if (right < currInterval[0]) {
      left = currInterval[0];
      right = currInterval[1];
    }
  }

  // 返回结果：区间列表的删除，即总区间数减去可以删除的区间数
  // ::::题设中需要返回【剩余区间的数目】
  return intervals.length - res;
};

2.4. 复杂度分析

时间复杂度分析：

1. 排序：使用了 JavaScript 的内置排序方法，时间复杂度为 O(n log n)，其中 n 是区间的数量。
2. 遍历区间：一次线性遍历，时间复杂度为 O(n)。
3. 总的时间复杂度：O(n log n) + O(n) = O(n log n)，主要由排序步骤决定。

空间复杂度分析：

1. 排序：JavaScript 的排序算法通常使用额外的 O(log n) 到 O(n) 的空间。
2. 其他变量（left, right, res）：使用常数额外空间。
3. 总的空间复杂度：O(log n) 到 O(n)，==主要取决于排序算法的实现==。

2.5. 错误记录

[!danger] 关于区间排序，一直觉得是 sort 里面嵌套 sort，其实不是，一个 sort 回调即可

arr.sort((a, b) => {  
    if (a[0] == b[0]) {  
        return b[1] - a[1];  
    }  
    return a[0] - b[0];  
});

// 简写
arr.sort((a, b) => a[0] - b[0] || b[1] - a[1]);

3. 示例二：区间合并问题

详见 12. 算法/3. 刷题篇/2. LeetCode 热题 100 题/12. 合并区间|12. 合并区间

4. 示例三：区间列表的交集

4.1. 题目

https://leetcode.cn/problems/interval-list-intersections/description/

4.2. 思路

• 我们用 [a1, a2] 和 [b1, b2] 表示在 A 和 B 中的两个区间，
  • 如果这两个区间有交集，需满足 b2 >= a1 && a2 >= b1，分下面四种情况：
    • 
    • 根据上图可以发现规律，假设交集区间是 [c1, c2]
      • 那么 c1 = max(a1, b1), c2 = min(a2, b2)，如下图
      • 

结合动图看看：

4.3. 代码实现

/**
 * @description 区间列表的交集
 * @param {number[][]} firstList
 * @param {number[][]} secondList
 * @return {number[][]}
 */
var intervalIntersection = function (firstList, secondList) {
  let res = [];
  // 双指针
  let i = 0,
    j = 0;
  while (i < firstList.length && j < secondList.length) {
    let a1 = firstList[i][0],
      a2 = firstList[i][1];
    let b1 = secondList[j][0],
      b2 = secondList[j][1];
    // ① 交集存在的情况：
    //   即 b 区间的起始位置小于等于 a 区间的结束位置
    // 并且 a 区间的起始位置小于等于 b 区间的结束位置
    if (b2 >= a1 && a2 >= b1) {
      res.push([Math.max(a1, b1), Math.min(a2, b2)]);
    }

    // ② 更新指针
    //   如果 a 区间的结束位置小于 b 区间的结束位置，则 a 区间的指针向后移动
    if (a2 < b2) {
      i++;
      //  如果 b 区间的结束位置小于 a 区间的结束位置，则 b 区间的指针向后移动
    } else {
      j++;
    }
  }
  return res;
};

4.4. 复杂度分析

时间复杂度：

• 假设两个数组的长度都是 n。
• 算法遍历两个数组一次，每次循环最多执行一次。
• 因此，时间复杂度是 O(n)。

空间复杂度：

• 结果数组 res：在最坏情况下（所有区间都有交集），可能需要存储 n 个交集区间。
• 其他变量使用常数额外空间。
• 总的空间复杂度：O(n)，主要由结果数组决定。

算法的优点（考虑到数组长度相同）：

1. 高效：时间复杂度 O(n) 是线性的，这是解决此问题的最优复杂度。
2. 一次遍历：通过一次遍历就能找出所有交集。
3. 无需排序：假设输入列表已经按区间起始时间排序。

关键点：

1. 双指针技巧：使用两个指针同步遍历两个列表。
2. 交集判断和指针移动策略保持不变。

总结： 考虑到两个输入数组长度相同，这个算法的性能特征更加明确。它以 O(n) 的时间复杂度和 O(n) 的空间复杂度高效地解决了问题，其中 n 是每个输入数组的长度。这个方法对于查找两个等长排序区间列表的交集是最优解。

4.5. 注意点

• 利用双指针 技巧
• 另外 a1 、a2 、b1、b2 、c1 、 c2 这几个变量的关系一定要搞清楚，不然会出问题